دنباله فیبوناچی - بخش اول
دنباله فیبوناچی (Fibonacci sequence)، سری اعدادی است که در آن هر عدد مجموع دو عدد قبلی است. به عنوان مثال، ۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، …
از نظر ریاضی می‌توانیم این دنباله را به صورت زیر توصیف کنیم:
xn= xn-1 + xn-2
تاریخچه
منابع بسیاری ادعا می‌کنند که این دنباله، برای اولین بار توسط لئوناردو فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) کشف یا “اختراع” شده است. این ریاضیدان ایتالیایی که حدود سال ۱۱۷۰ میلادی متولد شد، در ابتدا به عنوان لئوناردوی پیزا (Leonardo of Pisa) شناخته می‌شد. در قرن نوزدهم، مورخان نام مستعار فیبوناچی (به معنای تقریبی “پسر خاندان بوناچی”) را برای تمایز این ریاضیدان، از دیگر لئوناردو پیزای معروف ابداع کردند.
برخی دیگر می‌گویند که او این دنباله را اختراع نکرده است. کیت دِولین (Keith Devlin)، نویسنده کتاب “به دنبال فیبوناچی: جستجو برای کشف مجدد نابغه ریاضی فراموش شده‌ای که جهان را تغییر داد”، می‌گوید متون سانسکریت باستانی وجود دارد که از سیستم اعداد هندی-عربی استفاده می‌کنند؛ یعنی قرن‌ها قبل از لئوناردو پیزا.
اما در سال ۱۲۰۲، لئوناردو پیزا یک متن ریاضی به نام “کتاب حساب” (Liber Abaci) منتشر کرد. این کتاب به عنوان یک کتاب آشپزی برای تجار نوشته شده بود تا نحوه انجام محاسبات را بیاموزند. این متن، حساب هندسی-عربی را که برای ردیابی سود و زیان، مانده بدهی و غیره مفید بود، معرفی کرد و دنباله فیبوناچی را به دنیای غرب شناساند.
مثال‌های دنباله فیبوناچی
خرگوش‌ها
در این کتاب، لئوناردو این سوال را مطرح کرد: با توجه به شرایط ایده‌آل، چند جفت خرگوش می‌توانست از یک جفت خرگوش در یک سال تولید شود؟ معلوم شد که پاسخ، ۱۴۴ است – و رابطه استفاده شده برای به‌دست آوردن این پاسخ، همان‌طور که حدس زدید، دنباله فیبوناچی است. این آزمایش فکری فرض می‌کند که خرگوش‌های ماده همیشه جفت‌هایی متشکل از یک نر و یک ماده را به دنیا می‌آورند.
در ابتدا، دو خرگوش نوزاد در یک حیاط حصارکشی شده قرار داده می‌شوند و برای تولید مثل رها می‌شوند. پس از ماه اول فقط جفت اصلی باقی می‌ماند زیرا خرگوش‌ها نمی‌توانند تا حداقل یک ماهگی تولید مثل کنند. در پایان ماه دوم، جفت اول به دنیا می‌آیند و اکنون دو جفت خرگوش باقی می‌ماند. در ماه سوم، جفت اصلی خرگوش‌ها یک جفت نوزاد دیگر تولید می‌کنند در حالی که فرزندان قبلی آن‌ها به بزرگسالی می‌رسند. این وضعیت سه جفت خرگوش را باقی می‌گذارد که دو تای آن‌ها در ماه بعد دو جفت دیگر به دنیا می‌آورند.
کل تعداد خرگوش‌ها از دنباله فیبوناچی پیروی می‌کند. پس از ۱۲ ماه، ۱۴۴ جفت خرگوش وجود خواهد داشت. پس از دو سال، این تعداد به ۴۶۳۶۸ جفت می‌رسد!
مارپیچ‌ها
رابطه خاصی بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی (Golden Ratio) وجود دارد، نسبتی که زمانی را توصیف می‌کند که یک خط به دو قسمت تقسیم می‌شود و قسمت طولانی‌تر (a) تقسیم بر قسمت کوچکتر (b) مساوی با مجموع (a) + (b) تقسیم بر (a) است، که هر دو برابر ۱.۶۱۸ است. این نسبت با حرف یونانی (φ) نشان داده می‌شود. نسبت هر دو عدد فیبوناچی متوالی تقریباً برابر با مقدار نسبت طلایی (….φ = 1.6180339887) است. هر چه جفت اعداد فیبوناچی بزرگ‌تر باشد، این تقریب نزدیک‌تر است. از آنجا، ریاضیدانان می‌توانند چیزی را که مارپیچ طلایی نامیده می‌شود، یا یک مارپیچ لگاریتمی که فاکتور رشد آن برابر با نسبت طلایی است، محاسبه کنند.
دنباله فیبوناچی در طبیعت
مثال‌های زیادی از اعداد فیبوناچی (اعدادی که در دنباله ظاهر می‌شوند) در دنیای طبیعی وجود دارد. با این حال، فقط به این دلیل که یک سری از اعداد را می‌توان به یک شیء نسبت داد، به این معنی نیست که بین ریاضیات و واقعیت ارتباطی وجود دارد.
اعداد فیبوناچی اغلب به اندازه کافی در طبیعت ظاهر می‌شوند تا ثابت کنند که برخی از الگوهای طبیعی را منعکس می‌کنند. شما می‌توانید معمولاً با مطالعه نحوه رشد گیاهان مختلف، این الگوها را مشاهده کنید.
بسیاری از سر دانه‌ها، مخروط‌های کاج، میوه‌ها و سبزیجات الگوهای مارپیچی را نشان می‌دهند که هنگام شمارش، اعداد فیبوناچی را بیان می‌کنند. به مارپیچ‌های دانه‌ها در مرکز یک گل آفتابگردان نگاه کنید و الگوهایی را مشاهده خواهید کرد که به سمت چپ و راست منحنی می‌شوند. اگر این مارپیچ‌ها را بشمارید، مجموع یک عدد فیبوناچی خواهد بود. مارپیچ‌ها را به سمت چپ و راست تقسیم کنید و دو عدد فیبوناچی متوالی دریافت خواهید کرد. شما می‌توانید الگوهای مارپیچی را در مخروط‌های کاج، آناناس و کلم بروکلی رمزگشایی کنید که آن‌ها هم به همین ترتیب دنباله فیبوناچی را منعکس می‌کنند.
منبع: imaginationstationtoledo.org
مترجم: مهرداد الهی
دنباله فیبوناچی - بخش دوم
نسبت بین اعداد در دنباله فیبوناچی (۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۴۸۴۸۲…) اغلب نسبت طلایی یا عدد طلایی نامیده می‌شود. نسبت اعداد متوالی فیبوناچی با افزایش اعداد به سمت بی‌نهایت، به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.
آیا می‌خواهید ببینید که چگونه این اعداد جذاب در طبیعت ظاهر می‌شوند؟ نیازی به مراجعه به فروشگاه حیوانات خانگی محلی (برای خرید خرگوش) نیست؛ کافی است به اطراف خود نگاه کنید.
چگونه دنباله فیبوناچی در طبیعت ظاهر می‌شود؟
در حالی که برخی از دانه‌ها، گلبرگ‌ها و شاخه‌های گیاهان و غیره از دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند، قطعاً این دنباله همه چیزهایی را که در دنیای طبیعی رشد می‌کنند را نشان نمی‌دهد. و فقط به این دلیل که یک سری از اعداد را می‌توان به انواع شگفت‌انگیزی از اشیاء اعمال کرد، لزوماً به این معنی نیست که بین اعداد و واقعیت ارتباطی وجود دارد. دقیقاً مثل خرافات عددی از جمله خرافه مشهور مرگ افراد مشهور به صورت سه‌تایی، گاهی اوقات یک تصادف صرفاً یک تصادف است.
اما در حالی که برخی استدلال می‌کنند که فراوانی اعداد متوالی فیبوناچی در طبیعت اغراق‌آمیز است، این اعداد آنقدری در طبیعت ظاهر می‌شوند تا ثابت کنند که برخی الگوهای طبیعی را منعکس می‌کنند. می‌توانید با مطالعه نحوه رشد گیاهان مختلف، این الگوها را به طور معمول تشخیص دهید. در اینجا به چند مثال می‌پردازیم:
سر دانه‌ها، مخروط کاج، میوه‌ها و سبزیجات
به آرایه دانه‌ها در مرکز یک گل آفتابگردان نگاه کنید. متوجه خواهید شد که آن‌ها شبیه یک الگوی مارپیچ طلایی هستند. به طور شگفت‌انگیزی، اگر این مارپیچ‌ها را بشمارید، مجموع آن‌ها یک عدد فیبوناچی خواهد بود. مارپیچ‌ها را به سمت چپ و راست تقسیم کنید و دو عدد فیبوناچی متوالی خواهید داشت.
شما می‌توانید الگوهای مارپیچی را در مخروط‌های کاج، آناناس و گل‌کلم بیابید که آن‌ها نیز دنباله فیبوناچی را نشان می‌دهند.
گل‌ها و شاخه‌ها
برخی از گیاهان دنباله فیبوناچی را در نقاط رشد خود (جوانه‌های جانبی و انتهایی-م)، مکان‌هایی که شاخه‌های درخت تشکیل یا تقسیم می‌شوند، بیان می‌کنند. یک تنه درخت رشد می‌کند تا زمانی که یک شاخه تولید کند، در نتیجه دو نقطه رشد ایجاد می‌شود. سپس تنه، شاخه دیگری تولید می‌کند و سه نقطه رشد ایجاد می‌شود. سپس تنه و شاخه اول دو نقطه رشد دیگر تولید می‌کنند و مجموع آن‌ها به پنج می‌رسد. این الگو ادامه می‌یابد و از اعداد فیبوناچی پیروی می‌کند.
علاوه بر این، اگر تعداد گلبرگ‌های یک گل را بشمارید، اغلب متوجه خواهید شد که مجموع آن‌ها یکی از اعداد در دنباله فیبوناچی است. به عنوان مثال، سوسن‌ها و زنبق‌ها سه گلبرگ، گل‌های آلاله و رز وحشی پنج گلبرگ، دلفینیوم‌ها یا زبان‌پس‌قفا (delphiniums) هشت گلبرگ و غیره دارند.
زنبور عسل
یک گندوی زنبور عسل از یک ملکه، چندین زنبور نر و تعداد زیادی زنبور کارگر تشکیل شده است. زنبورهای ماده (ملکه و کارگر) دو والد دارند: یک زنبور نر و یک ملکه. از سوی دیگر، زنبورهای نر از تخم‌های غیر بارور بیرون می‌آیند. این بدان معناست که آن‌ها فقط یک والد دارند. بنابراین، اعداد فیبوناچی درخت خانوادگی یک زنبور نر را بیان می‌کنند، زیرا او یک والد، دو پدربزرگ و مادربزرگ، سه پدرِ پدربزرگ و مادر ِمادربزرگ و غیره دارد (منبع Knott)
طوفان‌ها
سیستم‌های طوفانی مانند گردبادها (hurricanes) اغلب از دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. دفعه بعد که یک گردباد را روی رادار هواشناسی می‌بینید، مارپیچ فیبوناچیِ غیرقابل انکار را در ابرها روی صفحه بررسی کنید.
بدن انسان
به خودتان در آینه به خوبی نگاه بیندازید. متوجه خواهید شد که بیشتر اعضای بدن شما از اعداد یک، دو، سه و پنج پیروی می‌کنند. شما یک بینی، دو چشم، سه بخش برای هر اندام و پنج انگشت در هر دست دارید. نسبت‌ها و اندازه‌های بدن انسان را نیز می‌توان بر حسب نسبت طلایی تقسیم کرد. مولکول‌های DNA از این دنباله پیروی می‌کنند و هر چرخه کامل از این مارپیچ دوگانه، ۳۴ آنگستروم طول و ۲۱ آنگستروم عرض دارد.
چرا بسیاری از الگوهای طبیعی از دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند؟
دانشمندان قرن‌ها است که این سوال را مطرح می‌کنند. در برخی موارد، ممکن است همبستگی صرفاً تصادفی باشد. در موارد دیگر، این نسبت وجود دارد زیرا آن الگوی رشد به عنوان موثرترین الگو تکامل یافته است. در گیاهان، این وضعیت ممکن است به معنای حداکثر نوردهی برای برگ‌های نورطلب یا حداکثر چیدمان دانه باشد.
تصورات اشتباه راجع به کهکشان‌های مارپیچی و نسبت طلایی
کهکشان‌های مارپیچی
هنگامی که صحبت از مارپیچ‌هایی می‌شود که به طور طبیعی در علوم فیزیک رخ می‌دهند، “کهکشان‌های مارپیچی” بدون شک مشهورترین آن‌ها هستند. کمی بیش از نیمی از تمام کهکشان‌های بزرگ، نزدیک و پرجرم شناخته‌شده، شکل و ساختار مارپیچی دارند، اما وقتی آن‌ها را از نظر ریاضی بررسی می‌کنیم، معلوم می‌شود که تعداد بسیار کمی از آن‌ها الگوی فیبوناچی‌وار را نشان می‌دهند.
الگوی فیبوناچی‌وار به الگویی گفته می‌شود که “خود متشابه” است، به این معنی که اگر بزرگ‌نمایی کنید و آن را در مقیاس‌های بزرگ‌تر نگاه کنید، همان الگوی ساختاری در مقیاس‌های کوچکتر تکرار می‌شود. ساختارهای مارپیچی دیده شده در کهکشان‌ها به دو روش متفاوت این کار را نمی‌کنند:
- بخش‌های داخلی کهکشان‌های مارپیچی به ندرت تا مرکز مارپیچ می‌روند، بلکه در یک برآمدگی یا میله کهکشانی نامتقارن خاتمه می‌یابند.
- بخش‌های بیرونی این کهکشان‌ها – که در آن‌ها ستارگان، گاز و غبار عمدتاً در یک دیسک محدود شده‌اند – بهتر است با منحنی یک دایره تقریب زده شوند تا هر ساختار “مارپیچی-خارجی”.
به یاد داشته باشید که بازوهای مارپیچی درون یک کهکشان ناشی از امواج چگالی و پیچش کهکشان در طول زمان است. چند ویژگی قابل توجه در برخی از کهکشان‌های مارپیچی وجود دارد که الگوی فیبوناچی‌وار را در آن مناطق میانی نشان می‌دهند، اما این امر معمول نیست.
تعداد کمی از مارپیچ‌هایی که الگوی فیبوناچی‌وار نشان می‌دهند، بخشی از کلاسی از مارپیچ‌ها به نام “کهکشان‌های مارپیچی طرح بزرگ” (Grand design spiral galaxy) هستند و این‌ها تنها حدود یک دهم کهکشان‌های مارپیچی را تشکیل می‌دهند، در مقابل رایج‌ترین انواع با مارپیچ‌های چند بازویی (از جمله کهکشان راه شیری) و دومین نوع رایج با ساختار مارپیچی ظریف و چند لایه که به عنوان کهکشان‌های مارپیچی کرکی (flocculent spiral galaxies) شناخته می‌شوند. این مارپیچ‌های “طرح بزرگ” منحصراً کهکشان‌هایی هستند که اخیراً تحت تأثیر برهمکنش گرانشی یک کهکشان همراه نزدیک قرار گرفته‌اند، و تنها آن تأثیر گرانشی خارجی است که بازوها و ویژگی‌های بیرونی را به شکل‌هایی می‌کشد که با نسبت‌های موجود در دنباله فیبوناچی سازگارتر هستند.
در حالی که بسیاری از اشکال مارپیچی در اثر فرآیندهای کاملاً فیزیکی و غیرزیستی در طبیعت رخ می‌دهند – از گرداب‌ها و گردابه‌هایی که در توده‌های آب تشکیل می‌شوند تا اشکال هوایی طوفان و خطوط شفاف – هیچ یک از این مارپیچ‌ها از نظر جزئیات ریاضی، فیبوناچی‌وار نیستند. ممکن است بتوانید یک “عکس لحظه‌ای” بگیرید که در آن یکی یا چند ویژگی، نسبت‌هایی را نشان می‌دهد که با نسبت‌های موجود در دنباله فیبوناچی برای یک لحظه خاص سازگار است، اما این ساختارها دوام نمی‌آورند و پایدار نیستند. الگوهای فیبوناچی‌وار دیده‌شده در کهکشان‌های مارپیچی، اختراعات چشم‌های ما هستند، نه یک حقیقت فیزیکی جهان هستی.
نسبت طلایی
در حالی که متخصصان موافقند که دنباله فیبوناچی در طبیعت رایج است، توافق کمتری در مورد اینکه آیا دنباله فیبوناچی در برخی نمونه‌های هنر و معماری ظاهر می‌شود وجود دارد. اگرچه برخی از کتاب‌ها می‌گویند که اهرام بزرگ و معبد پارتنون (و همچنین برخی از نقاشی‌های لئوناردو داوینچی) با استفاده از نسبت طلایی طراحی شده‌اند، اما وقتی این موضوع آزمایش می‌شود، مشخص می‌شود که این نادرست است (منبع: Markowsky).
ریاضیدان جورج مارکوفسکی خاطرنشان می‌کند که هم پارتنون و هم هرم بزرگ دارای بخش‌هایی هستند که با نسبت طلایی مطابقت ندارند، حقیقتی که توسط افرادی که مصمم به اثبات وجود اعداد فیبوناچی در همه چیز هستند، نادیده گرفته شده است. اصطلاح “میانه طلایی” در دوران باستان برای توصیف چیزی استفاده می‌شد که از دسترسی به هر دو جهت اجتناب می‌کرد، و برخی افراد میانه طلایی را با نسبت طلایی، که اصطلاح جدیدتری است که در قرن نوزدهم به وجود آمد، اشتباه گرفته‌اند.
